来源:环球科学

布尔巴基部分成员(图片由布尔巴基提供)布尔巴基部分成员(图片由布尔巴基提供)

  尼古拉·布尔巴基是20世纪最神秘的“数学家”,“他”师从庞加莱和希尔伯特,一己之力编撰数十卷《数学原本》,却从未抛头露面,任凭江湖中飘荡的流言蜚语。

  不以真面目示人的背后,是一众天才为了挽救衰败的法国数学界,沉心编撰浩瀚的文书,以记录当代的知识。听起来像是阿西莫夫笔下的《基地》,却是上世纪30年代开始的一段活着的历史。作为世界上最为知名的马甲之一,“布尔巴基”时至今日依然散发着神秘色彩。

  撰文 | 张和持

  于衰落中诞生

  “布尔巴基教授”的背后,是1935年于巴黎成立的布尔巴基学派。数百年来,法国一直是数学家的摇篮。费马、笛卡尔、帕斯卡、拉普拉斯、伽罗瓦、泊松、傅里叶……17世纪以来,巴黎皇家科学院逐渐汇聚大量顶级学者。法兰西数学大放异彩,法国也成为了欧洲的学术中心。

  可光辉最终也要走向暗淡。法国最后一名全能数学家,庞加莱,于1912年因病去世。在那之后,法国人所从事的研究方向越来越狭窄,主要集中于单复变函数。此时处于数学前沿的代数数论、李群李代数、微分几何、泛函分析等分支中,几乎看不到法国人的身影,法国的年轻一代更是难以接触到世界数学的前沿。相反他们的邻居德国人,当时俨然已经成为世界的数学中心。庞加莱之后,只有德国的戴维·希尔伯特一人能挑起数学家领袖的大梁。而第一次世界大战,让法国数学又雪上加霜。

  20世纪初,国际形势风云变幻。在第一次世界大战中,学生们份份奔向战场,昔日的顶级学府巴黎高师门可罗雀。到1918年战争结束时,已有半数学生永远无法归来。这些本可以成为新一代数学家的年轻人,永远地消散在了历史的角落。布尔巴基学派的五名创始人,让·德尔萨特、安德烈·韦伊、亨利·嘉当(注意跟他爹埃利·嘉当区分)、让·迪厄多内(被称为布尔巴基的发言人,大多数对外发布都是他做的)、克劳德·谢瓦莱都是上世纪20年代入学巴黎高师的学生。而战争中失去的一代人,割裂了那个时代。年轻的法国数学人处在一个前不着村,后不着店的位置。

戴维·希尔伯特(图片来源:维基百科)戴维·希尔伯特(图片来源:维基百科)

  20世纪初,代数学的兴起带来了一股潮流,由埃米·诺特,阿廷等德国数学家发展起来的理论不断为其注入新的血液。1930年,范·德·瓦尔登发表了著名的《代数学》,当时布尔巴基创始人之一的迪厄多内正在写博士论文,后来他在《布尔巴基的事业》一文中谈道:

  “我还记得范·德·瓦尔登这本书刚出版发卖的那天。那时我对代数无知到那种程度,以至于要是现在我就进不了大学。我急忙跑向这些书,看到这个在我面前打开的新世界我简直惊呆了。当时我那时已经从高等师范学校毕业,却不知道什么是理想(ideal,抽象代数中一种特殊的子环),而且才刚刚知道什么是群!这就会使你对一个年轻的法国数学家在1930 年知道些什么有一点概念。”

  后来布尔巴基的成员们一致同意模仿范·德·瓦尔登的风格写书,主要也是受此影响。不过这是后话了。真正促使这几位当时的无名小辈开始他们永垂青史的工作的,其实是当时陈旧的教材。初出茅庐的他们都在法国各大高校担任教职,他们讲授分析学(微积分,级数等内容)时使用的是30多年前出版的一本书,叫做《分析原理》。这本书包含诸多应用,在教授抽象理论知识的同时,也与科学和工程学紧密联系,得到了广泛好评。但这本教材也存在诸多问题——它的观点非常陈旧,没有跟上数学的发展;一些内容的讲法也不尽如人意,不满的老师们往往需要为此重新拟写讲义。韦依和他的老同学们时常聚在一起商量,他们想出一个好主意:由他们几个人共同撰写一部分析学教材,并用于他们各自的授课。

布尔巴基将军(图片来源:维基百科)布尔巴基将军(图片来源:维基百科)

  布尔巴基这个姓,来源于普法战争时期法国将领。巴黎高师时期,曾有一名同学以此名号搞恶作剧,称某教授要来做讲座,要求新生必须参加,韦依自传中写道:

  “戴着假胡子,发着怪音,他向学生们介绍自己后开始讲经典函数论,然后小小地上升到一个故弄玄虚的高度,最后以‘布尔巴基定理’结束。这个故事成了传奇,但更传奇的是一个学生声称他听懂了整个讲座。”

  布尔巴基学派就是建立在这样的恶搞风格之下。除了姓,还需要一个名。一名成员波赛儿的老婆,伊芙兰(后来成为了韦依的老婆)起了“尼古拉”这个沙皇一般的名字。小团体的形象就这么定下来了。韦依煞有介事地为其撰写了一篇简历:

  “尼古拉·布尔巴基,法国数学家,生于1886年,大学毕业后获得奖学金,先是去了巴黎,然后到了哥廷根大学,分别师从庞加莱和希尔伯特,1910年完成学位论文答辩。他的学术生涯丰富多彩,合作者无数,名誉扶摇直上。”

部分布尔巴基成员(图片来源:布尔巴基)部分布尔巴基成员(图片来源:布尔巴基)

  引领数学变革

  以布尔巴基作为笔名,几位高师老同学的写作开始了。1934年,他们组织了第一次非正式会议;1935年则是第一次正式会议。那之后,布尔巴基学派就正式诞生了。他们聚在一起讨论,将写作任务分配下去,一段时间后又回来坐在一起逐句朗读,一直到每个人都满意为止,没有通过的稿子绝不会发表。这是一个极其漫长的过程,充斥着激烈的争论。比方说迪厄多内坚决要求将拓扑向量空间这一内容放在积分学之前,要是有人反对他就会冒火,以退出相要挟。古德曼的妻子听说了这件事,表示不相信,布尔巴基成员们便邀请她参加了一次会议。在会中,一名成员故意挑起这个问题,迪厄多内果然暴跳如雷。不过他们的争论总是会回归和平,想象这样奇特的景象:一屋子人争吵着都要动手了,过了一会又开始和和气气地喝茶。君子确实和而不同。

布尔巴基成员们在讨论(图片来源:布尔巴基)布尔巴基成员们在讨论(图片来源:布尔巴基)

  为了写出精确且完整的教材,他们在写作过程中不会跳过任何步骤,也不会引用任何语焉不详的术语。1939年,布尔巴基的第一本书《集合论》(部分章节)出版了。他们把这个系列叫做《数学原本》,以致敬欧几里得的传世之作。

  不过当时正值二战,民生凋敝,自然没有引发多少反响。随后,德国入侵法国,数学家们纷纷避难,学术活动也大多搁置下来。幸运的是,等到战争结束,布尔巴基们又安然无恙地聚集起来。50和60年代,他们陆续不断地写作新书。你熟悉的很多数学符号和术语,比如空集符号,单射满射和双射等,都是他们在写作中首次使用的。

  布尔巴基的作品站在极为抽象的高度,在泛函分析,交换代数,微分几何这些前沿学科之间建立起联系。这种思想在哲学上称为结构主义。他们力图找到数学对象背后最为深刻的关系,并将其表现在作品中——他们也获得了极大的成功。

  特别是他们撰写的关于李群李代数的著作,其结构之精巧,思想之深邃,简直可以称之完美。这部60年代开始陆续发表的巨著象征了布尔巴基影响力的顶点——韦依,嘉当等人尚未退休,此时又有格罗腾迪克,塞尔等人加入,布尔巴基俨然成为了数学的风向标,而巴黎又回归了世界的数学中心。迪厄多内就曾表示:“毫不夸张地说,布尔巴基拯救了行将就木的法国数学。”

  布尔巴基们还不忘为“布尔巴基教授”补充设定。比如说嘉当写道:“据传说,17 世纪克里特岛的爱国者在两兄弟的领导下,与土耳其的侵略者作战。这两兄弟是埃曼纽尔及尼古拉·斯考迪里斯,他们的英勇气概使土耳其人印象深刻,以致土耳其人后来把他们称为‘沃尔巴基’,即 ‘军事首领’。尼古拉和埃曼纽尔十分自豪地取了这个荣耀的姓,于是用这个姓传给子孙后代……从布尔巴基家族的两个分支的结合诞生出数学家尼古拉·布尔巴基,于是故事在继续。尼古拉·布尔巴基现在是玻尔塔瓦皇家学院的院士。”

  走向衰落

  越传越玄的故事自然受到了质疑,以致于《数学评论》的编辑波阿斯把这一质疑发表在《大英百科全书》上。不过,随后他们就收到一封来自尼古拉·布尔巴基签名的措辞尖锐的信,其中义正言辞地表示他“无意允许任何人对他的存在的权利提出质疑”,随后“尼古拉”开始散布流言,称数学家波阿斯其实并不存在,而只是《数学评论》的编辑的集体笔名。

  不过幽默的风格并不影响治学的严谨。说到布尔巴基,自然要谈到他们倡导的公理方法。简单来说,公理方法就是一种抽象——把一个苹果加一个苹果等于两个苹果,抽象为1+1=2,这样如果再遇到一个梨加一个梨的问题,就不用再算了。数学中有很多类似的结构,即使直观看起来大相径庭的两样东西,其背后都可能藏着联系。只需要将其背后更加抽象的规律找出来,就能一次性解决很多问题。

  但这并不适合所有水平的人:人对于数学的认识,从来都是从具体的例子到抽象的概念。布尔巴基对于他们的作品的定位,只限于一定水平的研究生和数学研究人员。在这些作品中,你找不到来龙去脉,只有从头到尾的论证。初学者就算能看懂每一步,也会搞不清楚为什么会这样定义,也会想不通为什么要研究这样的问题。而经验丰富的数学研究者却能在其中找到美妙的框架结构,体会到其中的思想。

  可是很多人并不能抓住布尔巴基思想的精髓,却想在别处实践布尔巴基的“精神”。法国在70年代展开的“新数学”运动,就是这种“嫁接”的后果。一时间,中小学份份开始学习集合论,号称要将欧几里得赶出教师。老师和学生苦不堪言。整整一代人受到了这样揠苗助长的摧残。

  自然,矛盾的焦点指向了布尔巴基学派。社会各界充斥着对公理思想的谩骂,批评他们“为了推广而推广”。迪厄多内此时只能无力地发表了《布尔巴基的数学哲学》,为公理的形式主义正名,同时大加批判了数学上的“极左”(逻辑主义)和“极右”(直觉主义)。

  可惜的是,这些辩驳早已无法改变布尔巴基逐渐衰落的事实。他们起初为了让学派保持活力,规定成员到50岁必须退休。而等到新鲜的血液充满了整个小团体,布尔巴基也如同特修斯之船一样不复从前。一个数学学派最重要的是思想,但发表的仅仅是一板一眼的文字。这很容易让外界误以为布尔巴集的抽象是毫无意义的。自70年代以后,著作发行越来越少,出版社也几经更替。

  可以说,布尔巴基的全盛期,是数学的“大一统”时代。抽象观念逐渐将分支统一起来,各学科的交流达到了前所未有的高度。但到了20世纪的尾声,数学已不再是统一思维的天下了。随着代数曲线、偏微分方程、数学物理、低维拓扑等学科的发展,数学家们的兴趣转向了一个个具体的问题。像偏微分方程,虽然背后是高度抽象的泛函分析,但具体到每一个方程,研究的方法也大相径庭。布尔巴基的方法到这里已经行不通了。在布尔巴基日渐老去的身影之上,新一代的数学家解决了莫德尔猜想、费马大定理、庞加莱猜想等难题,继续使用代数,拓扑,分析的现代方法,将前沿拓展出去。以范畴论为核心的公理思想为数学家的思维带来了一次飞跃,而布尔巴基学派正好错过了这一革命性的思想。

  布尔巴基完成了大一统时代交给它的任务,如今各个分支虽说仍暗含关联,不同方向的数学家却早已形同陌路。那么我们肯定要问,对于今天的我们,布尔巴基还存在什么意义呢?

  答案是布尔巴基研讨班。研讨班这种源于德国的学术会议最终在法国发扬光大,自然是布尔巴基的功劳。自1948年起,每年都会邀请或由内部人员作报告,主题是当年数学的前沿。短短数年,就成为了世界上最举足轻重的研讨班。时至今日,或许巴黎早已不是数学的麦加,布尔巴基的秘密性也不再是数学界关注的焦点,但研讨班仍散发着无穷的活力。在视频网站上,你还能找到他们讲演的实录。每年都有无数数学家受到研讨班的启发,开始一项又一项新的开拓。

  去年,布尔巴基发表了他们最新版本的《谱理论》。再往前,是2016年出版了新作《代数拓扑》。风格一脉相承,却早已没有昔日风采。距离《数学原本》这一宏伟计划已经过了大半个世纪,写作却看不到尽头。他们还在一辈接一辈,书写最为纯粹的数学。或许是在等待新的时代,新的统一。

  参考材料:

  https://www.quantamagazine.org/inside-the-secret-math-society-known-as-nicolas-bourbaki-20201109/

  《数学的建筑》,布尔巴基等著,胡作玄等译


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